Question

4．如图所示，水平轨道PAB与$\frac{1}{4}$圆弧轨道BC相切于B点，其中，PA段光滑，AB段粗糙，动摩擦因数μ=0.1，AB段长L=2m，BC段光滑，半径R=1m．轻质弹簧劲度系数k=200N/m，左端固定于P点，右端处于自由状态时位于A点．现用力推质量m=2kg的小滑块，使其缓慢压缩弹簧，当推力做功W=25J时撤去推力．已知弹簧弹性势能表达式E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度取g=10m/s²．
（1）求推力撤去瞬间，滑块的加速度；
（2）求滑块第一次到达圆弧轨道最低点B时对B点的压力F_N；
（3）判断滑块能否越过C点．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒求出弹簧弹性势能的大小，结合弹性势能的表达式求出弹簧的形变量，从而根据胡克定律和牛顿第二定律求出滑块的加速度．
（2）根据动能定理求出到达B点时的速度，通过牛顿第二定律求出在B点支持力的大小，从而根据牛顿第三定律求出滑块对B点的压力．
（3）根据功能关系求出到达C点时的速度，从而判断滑块能否通过C点．

解答 解：（1）推力做功全部转化为弹簧的弹性势能，则有 W=E_k    ①
即：25=$\frac{1}{2}$×200×x²．
解得 x=0.5m．  ②
由牛顿运动定律得 a=$\frac{kx}{m}$=$\frac{200×0.5}{2}$m/s²=50m/s²     ③
（2）设滑块到达B点时的速度为v_B，由能量关系有
   W-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²．④
滑块在B点时，由牛顿第二定律得 F_N′-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ ⑤
解得 F_N′=62N．⑥
由牛顿第三定律可知，滑块对B点的压力 F_N=F_N′=62N    ⑦
（3）设滑块能够到达C点，且具有速度v_c，由功能关系得
   W-μmgL-mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²   ⑧
代入数据解得  v_c=1m/s    ⑨
故滑块能够越过C点     
答：
（1）推力撤去瞬间，滑块的加速度为50m/s²．
（2）滑块第一次滑动圆弧轨道最低点对B点的压力为62N．
（3）滑块能够越过C点．

点评 解决本题的关键是分析清楚能量是如何转化，分段运用能量守恒定律．还要知道在B点，由合力提供向心力．