（本小题共13分）

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.

(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

(Ⅱ) 用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望.

(本小题共14分)

如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．

 (Ⅰ)求证：平面；

 (Ⅱ)求证：平面；

 (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．

（本小题满分12分）

为了解我区中学生的体质状况及城乡大学生的体质差异，对银川地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查。现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示。

(1）请在频率分布表中的①、②、③位置填上相应的数据，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；

(本小题满分12分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84     乙：92 95 80 75 83 80 90 85

  （1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；

（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；

（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.

（本小题满分12分）

某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.

（Ⅰ）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；

（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望.

已知随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且EY=34，若X的分布列如右表所示,则的值为

A．  B． C． D．

(本小题满分12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；

（Ⅰ）求该小组中女生的人数；

（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.

（本小题满分12分）

        2010年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：

甲系列：

乙系列：

    现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。

（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的

概率；

   （II）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX。

(本小题满分12分)

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的.第一个路口遇到红灯的概率是，其余每个路口遇到红灯的概率都是.

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第二个路口时首次遇到红灯的概率；

(Ⅱ)假定这名学生在第二个路口遇到红灯，求这名学生在上学路上遇到红灯的次数X的分布列及期望.