（本题满分16分）开口向下的抛物线在第一象限内与直线相切．此抛物线与 轴所围成的图形的面积记为．

（1）求与的关系式，并用表示的表达式；

（2）求使达到最大值的、值，并求

（本题满分16分）

已知圆O：，O为坐标原点．

（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．

①求轨迹E的方程；

②过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E 相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大值．

  （2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．

如图， 已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直．直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．试判断直线与以为直径的圆的位置关系．

已知点为圆：上任意一点，点B(-1,0)，线段的垂直平分线和线段相交于点M.

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）已知点为曲线E上任意一点，求证：点关于直线的对称点为定点，并求出该定点的坐标.

(本小题满分16分)已知动点到定直线：的距离与点到定点之比为．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点N为轨迹上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为、，问是否为定值？

（3）若点M为圆O：上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？

（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）

       已知椭圆的楼离心率为，、分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2.

   （1）求椭圆C的方程；

   （2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，为半径作圆M，当圆M于椭圆的右准线有公共点，求△面积的最大值。

以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是          ．

已知椭圆的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在x轴上。小明从曲线、上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标。由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上。小明的记录如下：

据此，可推断椭圆的方程为______________。

（本题满分16分）

已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C₁与圆C₂．

(1)求证：无论t如何变化，圆C₁与圆C₂的圆心距是定值；

(2)当t变化时，求圆C₁与圆C₂的面积的和S的最小值．

（本小题满分15分）

如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）证明：直线PQ与圆O相切．