过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点(-1，

2

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点A、B，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为以F₁F₂为直径的圆上异于F₁，F₂的动点，问

AP

•

BP

是否为定值，若是求出定值，不是说明理由？
（3）是否存在过点Q（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得|FD|=

1

2

|MN|（其中D为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．

已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，过F₁的直线l交C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上不与椭圆顶点重合的任意一点，点M是椭圆C上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x₁，0），点F（x₂，0），探究x₁•x₂是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，请说明理由．

如图，点F是椭圆W：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为

1

2

，三角形ABF的面积为

3 3

2

，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N （M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

设双曲线C：

x2

2

-y2=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T．
（1）求直线A₁S与直线A₂T的交点H的轨迹E的方程；
（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线l：x=

1

2

，线段AB的中点M在直线l上，若F（1，0），求

FP

•

FQ

的取值范围．

求双曲线25y²-16x²=400焦点坐标、离心率、渐近线方程．

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂为左、右焦点，离心率e=

1

2

，一个短轴的端点（0，

3

）；抛物线C₂：y²=4mx（m＞0），焦点为F₂，椭圆C₁与抛物线C₂的一个交点为P．
（1）求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
（2）直线l经过椭圆C₁的右焦点F₂与抛物线C₂交于A₁，A₂两点，如果弦长|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的斜率．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

3

，半焦距为c（c＞0），且a-c=1，经过椭圆的左焦点F₁斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为k₂，求

k1

k2

的值及直线CD所经过的定点坐标．

抛物线y²=4x上一定点P（x₀，2），直线l的一个方向向量

d

=(1，-1)
（1）若直线l过P，求直线l的方程；
（2）若直线l不过P，且直线l与抛物线交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率为k_PA，k_PB，求k_PA+k_PB的值．

已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面积．