题目内容

已知F1，F2是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上不与椭圆顶点重合的任意一点，点M是椭圆C上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x1，0），点F（x2，0），探究x1•x2是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，请说明理由．
分析：（1）由于△ABF2的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，可得
4a=8
a-c=1
a2=b2+c2
，解得即可；
（2）设P（s，t），M（m，n），N（m，-n）．可得
s2
4
+
t2
3
=1，
m2
4
+
n2
3
=1，变形为s2=
12-4t2
3
，m2=
12-4n2
3
．直线MP的方程为y-n=
t-n
s-m
(x-m)，令y=0，解得x1=
mt-sn
t-n
，同理得到x2=
sn+mt
n+t
．即可证明x1x2为定值．
解答：解：（1）∵△ABF2的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，
∴
4a=8
a-c=1
a2=b2+c2
，解得
a=2c=2
b2=3
，
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）设P（s，t），M（m，n），N（m，-n）．
则
s2
4
+
t2
3
=1，
m2
4
+
n2
3
=1，
∴s2=
12-4t2
3
，m2=
12-4n2
3
．
直线MP的方程为y-n=
t-n
s-m
(x-m)，令y=0，解得x1=
mt-sn
t-n
，
同理得到x2=
sn+mt
n+t
．
∴x1x2=
m2t2-s2n2
t2-n2
=
(4-
4n2
3
)t2-(4-
4t2
3
)n2
t2-n2
=
4(t2-n2)
t2-n2
=4．
故为定值．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点在椭圆上满足椭圆的方程等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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已知F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2=120°，则椭圆离心率的范围是
[
3
2
，1）
[
3
2
，1）
．
已知F1、F2是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2=120°，求椭圆离心率的取值范围．
已知F1、F2是椭圆的两个焦点．△F1AB为等边三角形，A，B是椭圆上两点且AB过F2，则椭圆离心率是
3
3
3
3
．
已知 F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，椭圆上存在一点P，使得S△F1PF2=
3
b2，则该椭圆的离心率的取值范围是
[
3
2
，1）
[
3
2
，1）
．
已知F1，F2是椭圆
x2
2
+y2=1的两个焦点，点P是椭圆上一个动点，那么|
PF1
+
PF2
|的最小值是（　　）

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