Question

抛物线y²=4x上一定点P（x₀，2），直线l的一个方向向量

d

=(1，-1)
（1）若直线l过P，求直线l的方程；
（2）若直线l不过P，且直线l与抛物线交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率为k_PA，k_PB，求k_PA+k_PB的值．

Answer 1

分析：（1）把P点坐标代入抛物线方程，得到P点横坐标，由直线l的方向向量得到直线l的斜率，由点斜式得直线l的方程；
（2）设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由题得直线的斜率为-1，设不过点P的直线方程为y=-x+b，代入抛物线方程得y²+4y-4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算k_PA+k_PB=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

的值，从而得出结论．

解答：解：（1）由抛物线y²=4x上一定点P（x₀，2），
则4=4x₀，∴x₀=1．故P（1，2）．
∵直线l的一个方向向量

d

=(1，-1)，∴直线l的斜率为-1．
∴过P（1，2）的直线l的方程为y-2=-1×（x-1），
即x+y-3=0；
（2）设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由题得直线的斜率为-1．
设不过点P的直线方程为y=-x+b，
由

y2=4x y=-x+b

，得y²+4y-4b=0，则y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），
∴k_PA+k_PB=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

=

y1-2

y12 4 -1

+

y2-2

y22 4 -1

=

4

y1+2

+

4

y2+2

=

4(y1+y2+4)

(y1+2)(y2+2)

=0．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的数量积运算，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立方程组，化为关于x的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决，是难题．