如图，设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），求：
（1）切线l的方程；
（2）求证S(t)≤

2

e

．

如图：已知曲线C：在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q₁，再过Q₁点作x轴的垂线交曲线C于点P₁，再过P₁作C的切线与x轴交于点Q₂，依次重复下去，过P_n（x_n，y_n）作C的切线与x轴交于点Q_n（x_n+1，O）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）求△OP_nP_n+1的面积；
（3）设直线OP_n的斜率为k_n，求数列nk_n的前n项和S_n，并证明S_n＜

7

9

．

已知函数f（x）=alnx+

2a2

x

+x（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）单调性；
（Ⅲ）当a∈（-∞，0）时，记函数f（x）的最小值为g（a），求证：g(a)≤

1

2

e2（e是自然对数的底数）．

设函数f（x）=

1

3

 x³+bx²+cx（c＜b＜1）在x=1处取到一个极小值，且存在实数m，使f′（m）=-1，
①证明：-3＜c≤-1；
②判断f′（m-4）的正负并加以证明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于

-2c

3

，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

已知x=1是f（x）=2x-

b

x

+lnx的一个极植点
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）设g（x）=f（x）-

3

x

，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

求函数f（x）=2x³+3x²-12x+1的极值．

已知函数f（x）=lnx+

a

x

-2．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x＞0恒成立，求a的最小值．

已知函数f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 当a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若x=-1时，函数F（x）有极值，求函数F（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅲ）设函数g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然对数的底数），是否存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx，a为常数，且a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上有两个不同的极值点，求常数a的取值范围，并求函数f（x）的单调区间．

已知函数f（x）=x²-ax+2lnx（其中a是实数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2(

e

+

1

e

)＜a＜5，且f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求|f（x₁）-f（x₂）|的取值范围．（其中e是自然对数的底数）