Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

-2．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x＞0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，根据函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，可得f′（1）=2，可求出a的值，根据f（1）=2+b，可求出b的值；
（Ⅱ）欲使lnx+

a

x

-2≥0对任意x＞0恒成立，即a≥（2x-xlnx）_max，令 g（x）=2x-xlnx，然后利用导数研究函数在（0，+∞）上的最大值，从而可求出a的最小值．

解答：解：（I）∵f（x）=lnx+

a

x

-2，
∴f′(x)=

1

x

-

a

x2

，
∴由题意知f'（1）=2，即1-a=2，解得a=-1．
于是f（1）=-1-2=-3，
∴-3=2×1+b，解得b=-5；
（Ⅱ）由题知lnx+

a

x

-2≥0对任意x＞0恒成立，即a≥2x-xlnx，
令 g（x）=2x-xlnx，
∴g'（x）=2-（lnx+1）=1-lnx，
当0＜x＜e时，g'（x）＞0，即得g（x）在（0，e）上是增函数，
当x≥e时，g'（x）≤0，即得g（x）在[e，+∞）上是减函数．
∴g（x）_max=g（e）=e．
∴a≥e，即a的最小值为e．

点评：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的单调性．同时考查了参变量分离，解题过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题．