Question

如图：已知曲线C：在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q₁，再过Q₁点作x轴的垂线交曲线C于点P₁，再过P₁作C的切线与x轴交于点Q₂，依次重复下去，过P_n（x_n，y_n）作C的切线与x轴交于点Q_n（x_n+1，O）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）求△OP_nP_n+1的面积；
（3）设直线OP_n的斜率为k_n，求数列nk_n的前n项和S_n，并证明S_n＜

7

9

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到x_n+1与x_n的关系，利用等比数列的通项公式即可求出．
（Ⅱ）利用三角形的面积公式、梯形的面积公式及（Ⅰ）的结论即可得出；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论即可求出nk_n，再利用“错位相减法”即可求出S_n，进而证明结论．

解答：（Ⅰ）解：∵y′=-

1

x2

，∴f^′（1）=-1，
∴曲线C：y=

1

x

在点P（1，1）处的切线为y-1=-（x-1），
令y=0，则x=2，∴Q₁（2，0），∴P₁（2，

1

2

），∴x₁=2．
则过点P_n（x_n，

1

xn

）的切线斜率为-

1

xn2

，其方程为y-

1

xn

=-

1

xn2

（x-x_n），
令y=0，得到x=2x_n，∴Q_n+1（2x_n，0），即x_n+1=2x_n，∴

xn+1

xn

=2．
∴数列{x_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴x_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）解：∵S△OPnPn+1=S△OPnQn+S梯形PnPn+1Qn+1Qn-S△OPn+1Qn+1
=

1

2

x_ny_n+

yn+yn+1

2

（x_n+1-x_n）-

1

2

x_n+1y_n+1
=

1

2

（

1

xn

+

1

xn+1

）（x_n+1-x_n）=

1

2

（

1

2n

+

1

2n+1

）（2ⁿ⁺¹-2ⁿ）=

3

4

．
（Ⅲ）证明：由（1）可知：k_n=

yn

xn

=

1

xn2

=

1

(2n)2

=

1

4n

，∴nk_n=

n

4n

．
∴S_n=

1

41

+

2

42

+

3

43

+…+

n-1

4n-1

+

n

4n

①
4S_n=1+

2

41

+

3

42

+…+

n

4n-1

②
②-①得，3Sn=1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

-

n

4n

=

1- 1 4n

1- 1 4

-

n

4n

=

4

3

(1-

1

4n

)-

n

4n

，
∴Sn=

4

9

(1-

1

4n

)-

n

3•4n

＜

4

9

．
故Sn＜

4

9

＜

7

9

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，关键是熟练掌握导数的几何意义，考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，此题是中档题．