【题目】已知数列的前项和为，其中为常数．

（1）证明： ；

（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．

【题目】已知数列的各项均为正数，其前n项的积为，记，.

（1）若数列为等比数列，数列为等差数列，求数列的公比.

（2）若，，且

①求数列的通项公式.

②记，那么数列中是否存在两项，（s，t均为正偶数，且），使得数列，，，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.

【题目】已知函数，其中e为自然对数的底数．

（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；

（2）若函数有2个不同的零点，．

①求实数a的取值范围；

②求证：．

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知为椭圆的上顶点，P为椭圆E上异于上、下顶点的一个动点．当点P的横坐标为时，．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设M为x轴的正半轴上的一个动点．

①若点P在第一象限内，且以AP为直径的圆恰好与x轴相切于点M，求AP的长．

②若，是否存在点N，满足，且AN的中点恰好在椭圆E上？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【题目】图1是某高架桥箱梁的横截面，它由上部路面和下部支撑箱两部分组成．如图2，路面宽度，下部支撑箱CDEF为等腰梯形（），且．为了保证承重能力与稳定性，需下部支撑箱的面积为，高度为2m且，若路面AB．侧边CF和DE，底部EF的造价分别为4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a为正常数），．

（1）试用θ表示箱梁的总造价y（千元）；

（2）试确定cosθ的值，使总造价最低?并求最低总造价．

（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

【题目】为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）.如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系式为________；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间学生才能回到教室？

【题目】某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：

（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？

【题目】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且直线与曲线C有两个不同的交点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线垂直，求点M的直角坐标.

（1）当a时，求f（x）的单调区间及极值；

（2）若a为整数，且不等式f（x）≥x对任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．