【题目】设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数.

（1）求函数的表达式，并求其定义域；

（2）当时，求函数的值域

（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由.

【题目】已知函数，.

(I)若恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅱ)当取(I)中的最小值时，求证: .

在直角坐标系中以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系圆，直线的极坐标方程分别

为，.

(Ⅰ)求与交点的极坐标；

(Ⅱ)设为的圆心， 为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为

(为参数)，求的值.

【题目】设函数。

（1）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程；

（2）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围。

【题目】我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地，如图，点在上，点在上，且点在斜边上，已知， 米， 米， .设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）

（1）试用表示，并求的取值范围；

（2）求总造价关于面积的函数;

（3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）

【题目】如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，且平面平面，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【题目】已知函数，，.

（1）当时，若在区间上单调递减，求a的取值范围；

（2）求满足下列条件的所有实数对：当a是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；

(1)当a=3时，求A∩B；

(2)若a>0，且A∩B=，求实数a的取值范围．

(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；

(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.

【题目】某自来水厂的蓄水池有吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，小时内供水总量为吨，其中．

（Ⅰ）从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？ 最少水量是多少吨？

（Ⅱ）若蓄水池中水量少于吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？