Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，且平面平面，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）可证平面，从而得到要证的线面垂直；

（2）过点作的垂线，交于点，连结，可证二面角的平面角为，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量后可求它们的夹角的余弦值，从而得到二面角的正弦值.

（1）证明：因为，，

所以，

又∵平面平面，且平面平面，平面，

∴平面，又∵平面，∴ 所以，

∵为中点，且为等边三角形，∴，又∵，

∴平面.

（2）【法一】过点作的垂线，交于点，连结，

取中点为，连接.

因为为等边三角形，所以，

由平面平面，平面，平面平面，

所以平面，

平面，所以，由条件知，

又，所以平面，

又平面，所以，

又，所以，

所以，

由二面角的定义知，二面角的平面角为，

在中，，

由，所以，

同理可得，

又，在中，

，

所以，二面角的正弦值为.

【法二】

取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，

由平面平面，平面，平面平面，

所以平面，

所以，由，，

可知，所以，

以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，

所以，

由（1）知，可以为平面的法向量，

因为为的中点，

所以，

由（1）知，平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

由得，

取，则，

所以，

所以二面角的正弦值为.