在平面直角坐标系中，以为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，点，求的值．

【题目】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）请分析函数y= +1是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用函数模型y= 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

【题目】已知（），定义.

（1）求函数的极值

（2）若，且存在使，求实数的取值范围；

（3）若，试讨论函数（）的零点个数.

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；

（Ⅱ）当时， ，求实数的取值范围．

【题目】某大学为调研学生在， 两家餐厅用餐的满意度，从在， 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.

整理评分数据，将分数以10为组距分成6组： ， ， ， ， ， ，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：

（Ⅰ）在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；

（Ⅱ）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；

（Ⅲ）如果从， 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.

【题目】已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的面积的最大值；

（Ⅲ）设直线， 分别与轴交于点， .判断， 大小关系，并加以证明.

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）给出的一个取值，使得曲线存在斜率为的切线，并说明理由；

（Ⅱ）若存在极小值和极大值，证明： 的极小值大于极大值.

【题目】已知函数f（x）=2x﹣ （x∈R）．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）若2xf（2x）+mf（x）≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

【题目】已知函数f（x）= ﹣ 的定义域为集合A，B={x∈Z|3＜x＜11}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．
（1）求A，（RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．

【题目】为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用表示．（把频率当作概率）．

（1）假设，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？

（2）假设数字的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．