Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；

（Ⅱ）当时， ，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：

(1)首先对函数求导，写出切线方程，讨论方程根的分布可得过点有三条直线与曲线相切；

(2)利用题意构造函数，由新函数的性质可得实数的取值范围是.

试题解析：解法一：（Ⅰ）当时， ，

设直线与曲线相切，其切点为，

则曲线在点处的切线方程为： ，

因为切线过点，所以，

即 ，

∵，∴，

设，

∵， ， ，

∴在三个区间上至少各有一个根

又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程恰有三个根，

故过点有三条直线与曲线相切．

（Ⅱ）∵当时， ，即当时，

∴当时， ，

设，则，

设，则．

（1）当时，∵，∴，从而（当且仅当时，等号成立）

∴在上单调递增，

又∵，∴当时， ，从而当时， ，

∴在上单调递减，又∵，

从而当时， ，即

于是当时， ．

（2）当时，令，得，∴，

故当时， ，

∴在上单调递减，

又∵，∴当时， ，

从而当时， ，

∴在上单调递增，又∵，

从而当时， ，即

于是当时， ，

综合得的取值范围为．

解法二：（Ⅰ）当时， ，

，

设直线与曲线相切，其切点为，

则曲线在点处的切线方程为，

因为切线过点，所以，

即 ，

∵，∴

设，则，令得

当变化时， ， 变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴恰有三个根，

故过点有三条直线与曲线相切．

（Ⅱ）同解法一．