【题目】如图，在正三棱柱中，已知，分别为，的中点，点在棱上，且．求证：

（1）直线∥平面；

（2）直线平面．

【题目】如图，在三棱锥中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．

（1）求证: 平面平面；

（2）求证: 平面；

（3）求三棱锥体积．

【题目】如图1，在四棱锥中，底面是正方形，．

（1）如图2，设点为的中点，点为的中点，求证: 平面；

（2）已知网格纸上小正方形的边长为，请你在网格纸上用粗线画图1中四棱锥的府视图（不需要标字母），并说明理由．

【题目】某城市有一直角梯形绿地，其中，km，km．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．

（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；

（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．

【题目】如图，在四棱锥中，平面，， ，，为的中点．

（1）求异面直线，所成角的余弦值；

（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

【题目】在数列中，已知，，，设为的前项和．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求；

（3）是否存在正整数，，，使成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．

【题目】如图所示，已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点为坐标原点)．

（1）证明: 动点在定直线上；

（2）作的任意一条切线 (不含轴), 与直线相交于点与（1）中的定直线相交于点．

证明: 为定值, 并求此定值．

【题目】设函数， 为正实数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求证： ；

（3）若函数有且只有个零点，求的值．

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，已知．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率．

【题目】已知抛物线的焦点为为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点横坐标为时，为正三角形．

（1）求的方程；

（2）若直线，且和 有且只有一个公共点．

①证明直线过定点，并求出定点坐标；

②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．