题目内容
【题目】某城市有一直角梯形绿地
，其中
，
km，
km．现过边界
上的点
处铺设一条直的灌溉水管
，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，
在边界
上，求灌溉水管的长度；
（2）如图②，若在边界
上，求灌溉水管的最短长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）由面积相等建立等量关系：先确定直角梯形高
，求得直角梯形
面积
，再表示四边形
的面积：分割成一个小直角梯形
及一个直角三角形
,其中
为
中点，根据四边形的面积为直角梯形面积一半，可解得
，进而求得
（2）易得
，进而可得
，其中
，
，根据
的面积为直角梯形面积一半，可解得
，再由余弦定理可得
，利用基本不等式求最值
试题解析：（1）因为
，
，
，
所以，……………………………………2分
取中点，
则四边形的面积为
，
即
，
解得，…………………………………………6分
所以(km)．
故灌溉水管
的长度为km．……………………8分
（2）
设，，在
中，
，
所以在
中，
，
所以，
所以的面积为，
又
，所以
，即．……………………12分
在中，由余弦定理，得
，
当且仅当
时，取“
”．
故灌溉水管的最短长度为km．……………………………………16分
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