已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+1，求数列{

bn

an

}的前n项和T_n，并证明：1≤T_n＜

9

4

．

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，点M的极坐标为（4，

π

2

），圆C以M为圆心，4为半径；又直线l的参数方程为

x= 1 2 t+1 y= 3 2 t+ 3

（t为参数）
（Ⅰ）求直线l和圆C的普通方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．若相交，则求直线l被圆C截得的弦长．

设f（x）=lg

1+2x+4xa

3

在（-∞，1]恒成立，求a的取值范围．

已知数列{a_n}满足a₁=

2

5

，且对任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（Ⅱ）令b_n=

2

3

（

1

an

+5），求数列{

bn

3n

}前n项和T_n．

在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，且cos（A-

π

3

）=2cosA
（1）若cosC=

6

3

，BC=3，求AC．
（2）若B∈（0，

π

3

），且cos（A-B）=

4

5

，求sinB．

已知函数f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，a∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．

已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）求f（x）的单调增区间．

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：v(x)=

50，0≤x≤20 kx+60，20＜x≤120

（k∈R）．研究表明：当桥上的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（1）求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．

已知函数f（x）=

x 4 +1 (x≤1) lnx (x＞1)

，当f（x）=ax时有两个实数根，求a的取值范围．

已知向量

a

=（

3

sinx，cisx），

b

=（cosx，cosx），设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值．