已知函数f（x）=

8

3

x³-2x²+bx+a，g（x）=ln（1+2x）+x．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）与g（x）有交点，且在交点处的切线均为直线y=3x，求a，b的值并证明：在公共定义域内恒有f（x）≥g（x）．
（3）设A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂）），C（t，g（t））是y=g（x）图象上任意三点，且-

1

2

＜x₁＜t＜x₂，求证：割线AC的斜率大于割线BC的斜率．

已知函数f（x）=ax-2lnx-

a

x

（I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=

2e

x

，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．

函数y=x+xln x的单调递减区间是（　　）

A．（-∞，e-2）

B．（0，e-2）

C．（e-2，+∞）

D．（e2，+∞）

函数f（x）=kx³-x在R内是减函数，则k的取值范围是______．

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，证明：

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n  )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e-1

．

已知函数f（x）=x⁴-x³+ax²-1在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）已知函数g(x)=3x3-(9-b)x2-1(b＜-

1

2

)，求证：g（x）与函数f（x）的图象恰有1个交点．

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2，g（x）=（a+1）x-4．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a（a＞1），使得对任意的x∈[

1

e

， e]，恒有f（x）＜g（x）成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．（注：e为自然对数的底数．）

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

已知函数f(x)=lnx-

a

x

，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递增区间；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求出a的值．

设函数f（x）=x²+aln（x+1）
（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．