Question

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2，g（x）=（a+1）x-4．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a（a＞1），使得对任意的x∈[

1

e

， e]，恒有f（x）＜g（x）成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．（注：e为自然对数的底数．）

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=-2lnx+

1

2

x2，f′(x)=-

2

x

+x（x＞0）．            …（3分）
∵f(1)=

1

2

，∴切点为(1，

1

2

)，切线斜率k=f'（1）=-1．
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y-3=0．                  …（6分）
（Ⅱ）f（x）＜g（x）在x∈[

1

e

， e]上恒成立，也就是h（x）=f（x）-g（x）在x∈[

1

e

， e]上的最大值小于0．
令h（x）=f（x）-g（x）=alnx+

1

2

x2-(a+1)x+4，
则h'（x）=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）．     …（9分）
（1）若a≥e，则当x∈[

1

e

， 1]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈[1，e]时，h'（x）＜0，h（x）单调递减．
∴h（x）的最大值为h(1)=-a+

7

2

＜0，∴a＞

7

2

．                     …（11分）
（2）若1＜a＜e，则当x∈[

1

e

， 1]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈[1，a]时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈[a，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴h（x）的最大值为max{h（1），h（e）}，从而

h(1)＜0 h(e)＜0

．                 …（13分）
其中，由h（1）＜0，得a＞

7

2

，这与1＜a＜e矛盾．
综合（1）（2）可知：当a＞

7

2

时，对任意的x∈[

1

e

， e]，恒有f（x）＜g（x）成立．…（15分）