Question

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，证明：

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n  )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e-1

．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

1

x

-a（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜

1

a

，由f′（x）＞0可得x＞

1

a

，
∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，

1

a

），单调减区间是（

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x）_max＜0
由上知，a≤0时，不成立；
a＞0时，f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

-1＜0，∴a＞

1

e

；
（Ⅲ）证明：∵函数f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1时，f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

-1=-1
∴lnx-x＜-1
∴lnx＜x-1
令x=1+

k

n

，则ln(1+

k

n

)＜

k

n

，∴nln(1+

k

n

)＜k，∴ln(1+

k

n

)n＜k
∴(1+

k

n

)n＜ek，∴

1

(1+ k n )n

＞

1

ek

∴

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n  )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e

+

1

e2

+…+

1

e2

+

1

2n

=

1 e (1- 1 en-1 )

1- 1 e

+

1

2n

当n→+∞时，

1 e (1- 1 en-1 )

1- 1 e

→

1

e-1

．
∴

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n  )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e-1

．