Question

9．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$a-$\sqrt{3}$）sinx+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+1）cosx，将f（x）图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤|g（$\frac{π}{4}$）|成立，则a的值为2．

Answer 1

分析 由条件利用辅助角公式化简f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得a的值．

解答 解：已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$a-$\sqrt{3}$）sinx+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+1）cosx=$\frac{a}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$acosx+cosx-$\sqrt{3}$sinx
=asin（x+$\frac{π}{3}$）+2cos（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{a}^{2}+4}$sin（x+$\frac{π}{3}$+α），（cosα=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$），
将f（x）图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度得到函数g（x）的图象，
得到g（x）=$\sqrt{{a}^{2}+4}$sin（x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$+α）=$\sqrt{{a}^{2}+4}$sin（x+α）≤|$\sqrt{{a}^{2}+4}$sin（$\frac{π}{4}$+α）|=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∴α=$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$，求得a=2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查辅助角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．