题目内容
1．设二次函数f（x）=ax2-2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值是（ ）| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 1 |
分析 根据二次函数的图象和性质，可得c=$\frac{1}{a}$，a＞0，结合基本不等式，可得$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值．
解答 解：∵二次函数f（x）=ax2-2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-4ac=0\end{array}\right.$，
故c=$\frac{1}{a}$，a＞0，
故$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{1}{\frac{1}{a}+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{a+\frac{9}{a}+18}{a+\frac{9}{a}+10}$=$\frac{8}{a+\frac{9}{a}+10}$+1≤$\frac{8}{2\sqrt{a•\frac{9}{a}}+10}$+1=$\frac{3}{2}$，
当且仅当a=3时，$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值取$\frac{3}{2}$，
故选：A．
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
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