Question

3．已知圆C经过点A（1，1）、B（-2，-2），并且直线m：2x-y=4平分圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A、B两点，且OA⊥OB，O是坐标原点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出线段AB的中垂线方程，与直线m的方程联立求出圆心的坐标，再计算半径r，从而写出圆C的方程；
（2）设出A、B的坐标，利用OA⊥OB时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，结合直线与圆组成的方程组，即可求出a的值．

解答 解：（1）直线AB的斜率是k_AB=$\frac{1-（-2）}{1-（-2）}$=1，
且AB的中点为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
所以AB的中垂线方程为y+$\frac{1}{2}$=-（x+$\frac{1}{2}$），即x+y+1=0；
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x-y=4\end{array}\right.$，解得圆心为C（1，-2），
r=AC=$\sqrt{{（1-1）}^{2}{+（1+2）}^{2}}$=3，
所以圆C的方程为：（x-1）²+（y+2）²=9；…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为OA⊥OB，所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=0，
即2x₁x₂+（x₁+x₂）a+a²=0（*）；
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{（x-1）}^{2}{+（y+2）}^{2}=9}\\{x-y+a=0}\end{array}\right.$，
消去y，得2x²+2（a+1）x+a²+4a-4=0，
所以x₁+x₂=-a-1，
x₁x₂=$\frac{{a}^{2}+4a-4}{2}$，
代入（*）式得a²+4a-4+（-a-1）a+a²=0，
化简得a²+3a-4=0，解得a=-4或a=1；
经检验△=4（a+1）²-8（a²+4a-4）=-a²-6a+9＞0，
所以a=-4或a=1．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆的方程与应用问题，也考查了消元法和根与系数的应用问题，是综合性题目．