Question

15．已知两条直线l₁：y=m和l₂：y=$\frac{8}{2m+1}$（m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左到右相交于A、B，l₂与函数y=|log₂x|的图象从左到右相交于C、D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，$\frac{b}{a}$的最小值为（　　）

• A． 16$\sqrt{2}$
• B． 8$\sqrt{2}$
• C． 8$\root{3}{4}$
• D． 4$\root{3}{4}$

Answer 1

分析 设A，B，C，D各点的横坐标，依题意和对数的运算求横坐标的表达式，由平行投影的概念表示出a和b，代入$\frac{b}{a}$利用指数的运算化简，由m的范围和基本不等式求出最小值．

解答 解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，
则-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=$\frac{8}{2m+1}$，log₂x_D=$\frac{8}{2m+1}$；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=${2}^{-\frac{8}{2m+1}}$，x_D=${2}^{\frac{8}{2m+1}}$．
∴a=|x_A-x_C|=|${2}^{-m}-{2}^{-\frac{8}{2m+1}}$|，b=|x_B-x_D|=|${2}^{m}-{2}^{\frac{8}{2m+1}}$|，
则$\frac{b}{a}$═|$\frac{{2}^{m}-{2}^{\frac{8}{2m+1}}}{{2}^{-m}-{2}^{-\frac{8}{2m+1}}}$|=2^m•${2}^{\frac{8}{2m+1}}$=${2}^{m+\frac{8}{2m+1}}$，
又m＞0，
∴m+$\frac{8}{2m+1}$=$\frac{1}{2}$（2m+1）+$\frac{8}{2m+1}$-$\frac{1}{2}$
≥2 $\sqrt{\frac{1}{2}（2m+1）×\frac{8}{2m+1}}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
当且仅当 $\frac{1}{2}$（2m+1）=$\frac{8}{2m+1}$，即m=$\frac{3}{2}$时取等号，
∴$\frac{b}{a}$≥${2}^{\frac{7}{2}}$=$8\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题考查对数函数图象与性质，对数和指数的运算性质，平行投影的概念，以及基本不等式求最值，考查转化与数形结合的思想，化简、变形能力．