Question

7．已知F（1，0），过点A（-1，t）作y轴的垂线，与线段AF的垂直平方分线交于点M，点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）自直线y=2x+3上的动点N作曲线E的两条切线，两切点分别为P，Q，求证：直线PQ经过定点．

Answer 1

分析 （I）由中垂线的性质可知MF=MA，故而E为以F为焦点的抛物线；
（II）设N（x₀，y₀），过N点的直线方程为x=m（y-y₀）+x₀，联立抛物线方程，令△=0得出切点P，Q坐标及m₁，m₂的关系，代入两点式方程化简即可得出直线PQ的定点坐标．

解答 解：（I）∵M在AF的中垂线上，∴|MA|=|MF|，
∵M在直线y=t上，∴|MA|等于M到直线x=-1的距离．
∴M的轨迹为以点F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线．
∴曲线E的方程为y²=4x．
（II）设N（x₀，y₀），过N的切线方程为x=m（y-y₀）+x₀，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-{y}_{0}）+{x}_{0}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my+4my₀-4x₀=0．
∵直线与抛物线相切，∴△=16m²-16my₀+16x₀=0，
即m²-my₀+x₀=0．
∴m₁+m₂=y₀，m₁•m₂=x₀．
∴方程组的解为y=2m，x=m²．
设P（m₁²，2m₁），Q（m₂²，2m₂）．
则直线PQ的方程为：$\frac{y-2{m}_{1}}{2{m}_{2}-2{m}_{1}}$=$\frac{x-{{m}_{1}}^{2}}{{{m}_{2}}^{2}-{{m}_{1}}^{2}}$，
∴（m₁+m₂）（y-2m₁）-2（x-m₁²）=0．
即（m₁+m₂）y-2m₁m₂-2x=0．∴y₀y-2x₀-2x=0．
∵N（x₀，y₀）在直线y=2x+3上，∴y₀=2x₀+3．
∴直线PQ方程为2x₀y+3y-2x₀-2x=0．
∴当y=1时，x=$\frac{3}{2}$．
∴直线PQ过定点（$\frac{3}{2}$，1）．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．