Question

已知是定义在R上的偶函数，且时，.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若的取值范围.

Answer 1

    解：（Ⅰ）令x＞0，则－x＜0，

            从而f(－x)=(x+1)=f(x)，

            ∴x＞0时，f(x)=(x+1).

            ∴函数f(x)的解析式为f(x)= .

        （Ⅱ）设x₁, x₂是任意两个值，且x₁＜x₂≤0，

            则－x₁＞－x₂≥0，∴1－x₁＞1－x₂.

            ∵f(x₂)－f(x₁)

=(－x₂+1)－(－x₁+1)

=＞1=0，∴f(x₂)＞f(x₁)，

∴f(x)=(－x+1)在(－∞, 0]上为增函数. 又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(x)在(0, +∞)上为减函数.

∵f(a－1)＜－1=f(1)，∴|a－1|＞1，解得a＞2或a＜0.

故实数a的取值范围为(－∞, 0)(2, +∞).