Question

已知二次函数y=ax²（a＞0），点P（1，-2）．若存在两条都过点P且互相垂直的直线l₁和l₂，它们与二次函数y=ax²（a＞0）的图象都没有公共点，则a的取值范围为（　　）

• A、（

  1

  8

  ，+∞）
• B、[

  1

  8

  ，+∞）
• C、（0，

  1

  8

  ）
• D、（0，

  1

  8

  ）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：易知l₁斜率存在，且不为0．设l₁的斜率为k，则l₁的斜率为-

1

k

，则l₁的方程为y+2=k（x-1），l₂的方程为y+2=-

1

k

（x-1）．若直线l₁和l₂，它们与二次函数y=ax²（a＞0）的图象都没有公共点，则他们的方程与抛物线方程联立所得的方程无解，进而得到满足条件的a的取值范围．

解答： 解：易知l₁斜率存在，且不为0．设l₁的斜率为k，则l₁的斜率为-

1

k

，
则l₁的方程为y+2=k（x-1），l₂的方程为y+2=-

1

k

（x-1）．
由

y=ax2 y+2=k(x-1)

得，ax²-kx+k+2=0．
由l₁与二次函数y=ax²（a＞0）的图象没有公共点知，△1=k2-4a(k+2)＜0…①．
同理，由l₂与二次函数y=ax²（a＞0）的图象没有公共点知，△2=(-

1

k

)2-4a(-

1

k

+2)＜0…②．
由①得2a-2

a2+2a

＜k＜2a+2

a2+2a

；
由②得k＜

a- a2+2a

4a

，或k＞

a+ a2+2a

4a

．
依题意，方程组①②有解．
∵若方程组①②无解?2a-2

a2+2a

≥

a- a2+2a

4a

且2a+2

a2+2a

≤

a+ a2+2a

4a

，即0＜a≤

1

8

．
∴方程组①②有解?a＞

1

8

．
故a的取值范围为（

1

8

，+∞）．
故选：A

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中将直线与抛物线没有交点，转化为联立所得的方程组无解，是解答的关键．