Question

求下列函数的单调区间：

（1）f(x)=x⁴-2x²+3;

（2）f(x)=;

（3）f(x)=x+(b＞0);

（4）f(x)=2x-lnx;

（5）f(x)=+cosx.

Answer 1

分析：求函数的单调区间或判断单调性，首先应确定函数定义域.其次通过解不等式f′(x)＞0确定x的集合，即得函数的递增区间；解f′(x)＜0确定的x的集合，即得函数的递减区间.需特别注意的是，函数的单调区间一定要在函数的定义域内.

解：（1）函数f(x)的定义域为R，

f′(x)=4x³-4x=4(x-1)(x+1)x

令f′(x)＞0,得-1＜x＜0或x＞1,

∴函数f(x)的单调递增区间为（-1，0）和（1，+∞)；

令f′(x)＜0,得x＜-1或0＜x＜1,

∴函数f(x)的单调递减区间为（-∞,-1)和(0,1).

（2）函数定义域为0≤x≤2.

f′(x)==.

令f′(x)＞0,得0＜x＜1.

∴函数f(x)的递增区间为（0,1）；令f′(x)＜0得1＜x＜2,

∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）.

（3）函数定义域为x≠0,f′(x)=1-=(x-)(x+).

令f′(x)＞0,得x＞或x＜-.

∴函数f(x)的单调递增区间为（-∞,- ）和（,+∞）;令f′(x)＜0,得-＜x＜且x≠0,

∴函数f(x)的单调递减区间是（-,0）和(0,).

（4）函数的定义域为（0，+∞),

其导数f′(x)=2-.

令2-＞0,解得x＞.

令2-＜0,解得0＜x＜.

因此，(,＋∞)为该函数的单调增区间，（0，）为该函数的单调减区间.

（5）函数的定义域为R.

f′(x)=-sinx.

令-sinx＜0,解得2kπ+＜x＜2kπ+(k∈Z).

令-sinx＞0,解得2kπ-＜x＜2kπ+(k∈Z).

因此（2kπ+,2kπ+）(k∈Z)为f(x)的单调减区间.（2kπ-,2kπ+)(k∈Z）为f(x)的单调增区间.