Question

求下列函数的单调区间：
（1）f（x）=

x

2

+sinx；
（2）f（x）=

2x-b

(x-1)2

．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的增减区间；
（2）求导数f′（x），然后按照b的取值范围分类讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0；

解答：解：（1）f′（x）=

1

2

+cosx，
令f′（x）＜0，即cosx＜-

1

2

，解得

2

3

π+2kπ＜x＜

4

3

π+2kπ，k∈Z，
令f′（x）＞0，即cosx＞-

1

2

，解得-

2

3

π+2kπ＜x＜

2

3

π+2kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调减区间为（

2

3

π+2kπ，

4

3

π+2kπ），k∈Z，单调增区间为（-

2

3

π+2kπ，

4

3

π+2kπ），k∈Z；
（2）f′（x）=

2(x-1)2-(2x-b)•2(x-1)

(x-1)4

=

-2x+2b-2

(x-1)3

=-

2[x-(b-1)]

(x-1)3

，
令f′（x）=0，得x=b-1，
当b-1＜1即b＜2时，由f′（x）＞0得b-1＜x＜1，由f′（x）＜0得x＜b-1或x＞1，
当b-1＞1即b＞2时，由f′（x）＞0得1＜x＜b-1，由f′（x）＜0得x＜1或x＞b-1，
所以当b＜2时，f（x）的减区间为（-∞，b-1）和（1，+∞），增区间为（b-1，1）；
当b＞2时，f（x）的减区间为（-∞，1）和（b-1，+∞），增区间为（1，b-1）；
当b=2时，f（x）的减区间为（-∞，1）和（1，∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，属中档题．