Question

【题目】如图，三棱柱ABC-中，⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，C=4，D为BC的中点

（I）求证：AC⊥平面AB；

（II）求证：C∥平面AD；

（III）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（II）见解析（III）

【解析】

（I）C⊥平面ABC，得A⊥平面ABC，从而A⊥AC，再结合已知可证得线面垂直；

（II）连接，与A相交于点O，连接DO，可证DO∥，从而证得线面平行；

（III）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两平面和平面的法向量，由法向量的夹角余弦值求得二面角的余弦值．

（I）∵C⊥平面ABC，A∥C

∴A⊥平面ABC，

∴A⊥AC

又AC⊥AB，AB∩A=A

∴AC⊥平面AB·

（II）连接，与A相交于点O，连接DO

∵D是BC中点，O是中点，

则DO∥，

平面AD，DO平面AD

∴平面AD

（III）由（I）知，AC⊥平面AB，A⊥AB

如图建立空间直角坐标系A-xyz·

则A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）

设平面AD的法向量为=（x,y,z），则

，即

取y=1，得=（-2，1，2）

平面AC的法向量为=（2，0，0）

Cos<,>==-·

则平面AD与平面AC所成锐二面角的余弦值为