Question

【题目】已知椭圆M：=1（a>b>c）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2.若直线y=x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B

（I）求椭圆M的方程；

（II）将表示为m的函数，并求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）=1（II），（-2<m<2）；△OAB面积的最大值为

【解析】

（I）已知条件说明，，从而可得，得椭圆方程；

（II）把直线方程代入椭圆方程，设交点为，由判别式求得的取值范围，用韦达定理求得，由弦长公式求得弦长，再求出点到直线的距离，从而得出的面积表示为的函数，由函数的知识可得最大值．

（I）由题意可知：c=,b=1

由得：a=

所以椭圆的标准方程为：=1

（II）设点A坐标为（）、点B坐标为（）

联立直线与椭圆的方程，消去y

整理得4+6mx+3-3=0

由直线与椭圆相交可得：△=36-16（3-3）>0,即<4

解得：-2<m<2

=-,=

点O到直线l的距离d=

所以

=(-2<m<2)

当，即m=±时，△OAB面积的最大值为