Question

【题目】设函数 ，且为的极值点．

(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；

(Ⅱ)若恰有1解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】

因为为的极值点，所以

所以且，……………3分

（1）因为为的极大值点，所以

当时，；当时，；当时，

所以的递增区间为，；递减区间为．…………6分

（2）若，则在上递减，在上递增

恰有1解,则，即,所以；…………9分

若，则，

因为，则

，从而恰有一解； ……………12分

若，则

，从而恰有一解；

所以所求的范围为．

【解析】

（1）由，知，由x=1为f（x）的极值点，知．由x=1为f（x）的极大值点，知c＞1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，则f（1）=0，实数c的取值范围．

，又，

则，所以且.

（1）因为为)的极大值点，所以，

当时，；当时，；

当时，，

所以的单调递增区间为，；单调递减区间为.

（2）①若，则在上单调递减，在上单调递增，

恰有两解，则，则，

所以；

②若，则，，

因为，则，

，从而只有一解；

③若，则，

，则只有一解.

综上，使恰有两解的的取值范围为.