题目内容

已知x为任意实数，则
3x
+
31-x
 的取值范围为
 
．
分析：设
3x
=a，
31-x
=b，则
3x
+
31-x
=t，利用a+b=t；ab=ab=
t3-1
3t
，构造方程y2-ty+
t3-1
3t
=0，寻求方程有解的条件，从而求得函数的值域．
解答：解：设
3x
=a，
31-x
=b，则
3x
+
31-x
=t，
则有
a+b=t
a3+b3=1

将第一式3次方后得a3+b3+3ab（a+b）=t3，
∴ab=
t3-1
3t
，这样a、b是关于y的方程y2-ty+
t3-1
3t
=0的两根，
其判别式△=t2-4×
t3-1
3t
≥0，
∵t＞0，
∴t3-4≤0，即0＜t≤
34
．
∴只要0＜t≤
34
时，原方程有解．
综上所述，
3x
+
31-x
的取值范围是（0，
34
]．
故答案是（0，
34
]．
点评：本题考查了函数值域的求法，考查了学生的逻辑推理能力与运算能力，解答本题的关键是构造方程，寻求方程有解的条件，从而求得函数的值域．
练习册系列答案
相关题目
已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）中，f（0）=1
且当n-1≤x＜n（n∈Z）时，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）
（Ⅰ）求f（2）的值及当x∈[3，4）时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）“定义：设g（x）为定义在D上的函数，若存在正数M，对任意x∈D都有|g（x）|≤M，则称函数g（x）为D上有界函数；否则，称函数g（x）为D上无界函数．”试证明f（x）为R上无界函数．
已知x+y=1，若不等式 
1
x
+
a
y
≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为
4
4
．
给出下列四个结论：
①若α、β为锐角，tan（α+β）=-3，tanβ=
1
2
，则α+2β=
3π
4
；
②在△ABC中，若
AB
•
BC
＞0，则△ABC一定是钝角三角形；
③已知双曲线
x2
4
+
y2
m
=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）；
④当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是x2=
4
3
y．其中所有正确结论的个数是（　　）
已知m为任意实数，则直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在（　　）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网