Question

已知x+y=1，若不等式 

1

x

+

a

y

≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

4

．

Answer 1

分析：根据不等式

1

x

+

a

y

≥9对任意正实数x，y恒成立，可得（

1

x

+

a

y

）_min≥9，利用1的代换，求出

1

x

+

a

y

最小值，即可求得结论．

解答：解：∵不等式

1

x

+

a

y

≥9对任意正实数x，y恒成立，
∴（

1

x

+

a

y

）_min≥9
∵正实数x，y满足x+y=1，
∴

1

x

+

a

y

=（x+y）（ 

1

x

+

a

y

）=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

a

∴1+a+2

a

≥9
∴1+

a

≥3
∴a≥4
∴正实数a的最小值为4
故答案为：4

点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是将不等式

1

x

+

a

y

≥9对任意正实数x，y恒成立，转化为（

1

x

+

a

y

）_min≥9，属于中档题．本题解法是此类题的通用解法，要好好体会