Question

已知向量

OP

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），

OQ

=（cosx，-1），f（x）=

OP

•

OQ

（1）求函数f（x）最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换求得f（x）=

2

sin（x+

π

4

），从而得到它的最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

OP

•

OQ

=cosx（2cosx+1）-（cos2x-sinx+1）=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1
=cosx+sinx=

2

sin（x+

π

4

），
∴函数f（x）最小正周期为

2π

1

=2π．
（2）又x∈[0，

π

2

]，所以x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，函数f（x）=

2

sin（x+

π

4

）在[

π

4

，

π

2

]上单调递增，在[

π

2

，

3π

4

]上单调递减，
故当x=

π

4

时，f（x）取得最大值为

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．