题目内容
(本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（
）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1) 写出a1，a2，a3，并求出an；
(2) 记
，求和
（
）；
（其中
表示所有的积
的和）
(3) 证明：
．
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（
）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1) 写出a1，a2，a3，并求出an；
(2) 记
，求和
（
）；（其中
表示所有的积
的和）(3) 证明：
．（1）
（2）
（3）略
（2）
（3）略(1) 
事实上，要将
个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面
个圆盘转移到B柱上，需要
次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将
柱上的
个圆盘转移到C柱上，需要次转移，所以有
则
，所以
(2)
则
（
）
(3) 令
，则当
时
又
，所以对一切有：
另方面
恒成立，所以对一切有
综上所述有：
事实上，要将
个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面
个圆盘转移到B柱上，需要
次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将
柱上的
个圆盘转移到C柱上，需要次转移，所以有
则
，所以(2)
则
（
）(3) 令
，则当
时
又
，所以对一切有：
另方面
恒成立，所以对一切有
综上所述有：
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，且
，
是一个递增的等差数列
的前三项，
的值
满足：
，求数列
的通项公式；
的前n项和。当
时，
的通项公式；试用n和
表示
，证明：
时，证明
的前n项和为
，已知
.
，求数列
的前n项和
.
，第二组含两个数
，第三组含三个数
，第四组含四个数
，┅，现观察猜想每组内各数之和与其组的编号数
的关系为（ ）
= ．
的等差数列，则| m－n | =________________