题目内容
在直角坐标平面XOY上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），A3（3，a3），…An（n，an），…简记为{An}，若由
构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，（n=1，2，…，n∈N） （其中
是与y轴正方向相同的单位向量），则称{An}为“和谐点列”．（1）试判断：A1（1，1），
，
…
…是否为“和谐点列”？并说明理由．（2）若{An}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：aq+am＞an+ap．
【答案】分析：（1）由
，知
，所以
，由此知{An}为“和谐点列”．
（2）由An（n，an），An+1（n+1，an+1），知
．由
，知bn=an+1-an．由此入手能够证明aq+am＞an+ap．
解答：解：（1）∵
，
∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
，
显然bn+1＞bn，∴{An}为“和谐点列”．
（2）证明：∵An（n，an），An+1（n+1，an+1），
∴
．又因为
，
∴bn=an+1-an．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴aq-qp=aq-qq-1+aq-1-aq-2+…+ap+1-ap=bq-1+bq-2+…+bp．
∵{An}为“和谐点列”∴bn+1＞bn．
∴bq-1+bq-2+…+bm=（q-p）bp．
即aq-ap≥（q-p）bp．
同理可证：an-am=bn-1+bn-2+…+bm≤（n-m）bn-1．
∵bp＞bn-1，n-m=q-p．
∴（q-p）bq＞（n-m）bn-1．
∴aq-ap＞an-am．
∴aq+am＞an+ap．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意“和谐点列”的理解和合理地进行等价转化．
，知
，所以
，由此知{An}为“和谐点列”．（2）由An（n，an），An+1（n+1，an+1），知
．由
，知bn=an+1-an．由此入手能够证明aq+am＞an+ap．解答：解：（1）∵
，∴
，又∵
，∴
，∴
，
，显然bn+1＞bn，∴{An}为“和谐点列”．
（2）证明：∵An（n，an），An+1（n+1，an+1），
∴
．又因为
，∴bn=an+1-an．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴aq-qp=aq-qq-1+aq-1-aq-2+…+ap+1-ap=bq-1+bq-2+…+bp．
∵{An}为“和谐点列”∴bn+1＞bn．
∴bq-1+bq-2+…+bm=（q-p）bp．
即aq-ap≥（q-p）bp．
同理可证：an-am=bn-1+bn-2+…+bm≤（n-m）bn-1．
∵bp＞bn-1，n-m=q-p．
∴（q-p）bq＞（n-m）bn-1．
∴aq-ap＞an-am．
∴aq+am＞an+ap．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意“和谐点列”的理解和合理地进行等价转化．
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