Question

在直角坐标平面xOy上的一列点A₁（1，a₁），?A₂（2，a₂），?…，?A_n（n，a_n），?…，简记为{A_n}、若由bn=

AnAn+1

•

j

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，n=1，2，…，其中

j

为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A_n}为T点列，
（1）判断A1( 1，  1)，?A2( 2，  

1

2

)，?A3( 3，  

1

3

)，?…，?An( n， 

1

n

 )，?…，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{A_n}为T点列，且点A₂在点A₁的右上方、任取其中连续三点A_k、A_k+1、A_k+2，判断△A_kA_k+1A_k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{A_n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：

AnAq

•

j

＞

AmAp

•

j

．

Answer 1

分析：（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{a_n}的通项，把数列{a_n}的通项代入新定义的数列{b_n}，验证数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，
得到{A_n}是T点列的结论．
（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．
（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．

解答：解：（1）由题意可知an=

1

n

，
∴bn=

1

n+1

-

1

n

=

-1

n(n+1)

，
显然有b_n+1＞b_n，
∴{A_n}是T点列
（2）在△A_kA_k+1A_k+2中，

Ak+1Ak

=(-1，ak-ak+1)，

Ak+1Ak+2

=(1，ak+2-ak+1)，

Ak+1Ak

•

Ak+1Ak+2

=-1+(ak+2-ak+1)(ak-ak+1)
∵点A₂在点A₁的右上方，
∴b₁=a₂-a₁＞0，
∵{A_n}为T点列，
∴b_n≥b₁＞0，
∴（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）=-b_k+1b_k＜0，则

Ak+1Ak

•

Ak+1Ak+2

＜0
∴∠A_kA_k+1A_k+2为钝角，
∴△A_kA_k+1A_k+2为钝角三角形、
（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，
∴q-p=n-m＞0
①a_q-a_p=a_q-a_q-1+a_q-1-a_q-2++a_p+1-a_p=b_q-1+b_q-2++b_p≥（q-p）b_p②
同理a_n-a_m=b_n-1+b_n-2++b_m≤（n-m）b_n-1、③
由于{A_n}为T点列，于是b_p＞b_n-1，④
由①、②、③、④可推得a_q-a_p＞a_n-a_m，
∴a_q-a_n＞a_p-a_m，
即

AnAq

•

j

＞

AmAp

•

j

点评：本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到比较大小的问题，是一个大型的综合题．可以作为高考卷的压轴题．