Question

在直角坐标平面XOY上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），A₃（3，a₃），…A_n（n，a_n），…简记为{A_n}，若由bn=

AnAn+1

•

j

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，（n=1，2，…，n∈N） （其中

j

是与y轴正方向相同的单位向量），则称{A_n}为“和谐点列”．
（1）试判断：A₁（1，1），A2(2，

1

2

)，A3(3，

1

22

)…An(n，

1

2n-1

)…是否为“和谐点列”？并说明理由．
（2）若{A_n}为“和谐点列”，正整数m，n，p，q满足：≤m＜n＜p＜q1，且m+q=n+p．求证：a_q+a_m＞a_n+a_p．

Answer 1

分析：（1）由An(n，

1

2n-1

)，An+1(n+1，

1

2n

)，知

AnAn+1

=(1，-

1

2n

)，所以bn=

AnAn+1

•

j

= -

1

2n

，由此知{A_n}为“和谐点列”．
（2）由A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），知

AnAn+1

=(1，an+1-an)．由

j

=(0，1)，知b_n=a_n+1-a_n．由此入手能够证明a_q+a_m＞a_n+a_p．

解答：解：（1）∵An(n，

1

2n-1

)，An+1(n+1，

1

2n

)，
∴

AnAn+1

=(1，-

1

2n

)，
又∵

j

=(0，1)，∴bn=

AnAn+1

•

j

= -

1

2n

，
∴bn+1=-

1

2n+1

，bn=-

1

2n

，
显然b_n+1＞b_n，∴{A_n}为“和谐点列”．
（2）证明：∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=(1，an+1-an)．又因为

j

=(0，1)，
∴b_n=a_n+1-a_n．
∵1≤m，且m+q=n+p．
∴q-p=n-m＞0．
∴a_q-q_p=a_q-q_q-1+a_q-1-a_q-2+…+a_p+1-a_p=b_q-1+b_q-2+…+b_p．
∵{A_n}为“和谐点列”∴b_n+1＞b_n．
∴b_q-1+b_q-2+…+b_m=（q-p）b_p．
即a_q-a_p≥（q-p）b_p．
同理可证：a_n-a_m=b_n-1+b_n-2+…+b_m≤（n-m）b_n-1．
∵b_p＞b_n-1，n-m=q-p．
∴（q-p）b_q＞（n-m）b_n-1．
∴a_q-a_p＞a_n-a_m．
∴a_q+a_m＞a_n+a_p．

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意“和谐点列”的理解和合理地进行等价转化．