Question

如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，根据离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，建立方程，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M，当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得△APB面积，从而问题得解．
解答：解：（Ⅰ）由题意，解得：．
∴所求椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）
由，消元可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0①
∴，
∴线段AB的中点M
∵M在直线OP上，∴
∴k=-
故①变为3x²-3mx+m²-3=0，又直线与椭圆相交，
∴△＞0，x₁+x₂=m，
∴|AB|=
P到直线AB的距离d=
∴△APB面积S=（m∈（-2，0）
令u（m）=（12-m²）（m-4）²，则
∴m=1-，u（m）取到最大值
∴m=1-时，S取到最大值
综上，所求直线的方程为：
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，属于中档题．