Question

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右顶点为A₁，A₂，左右焦点为F₁，F₂，其中F₁，F₂是A₁A₂的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF₁|+|AF₂|=6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AF₁与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=，n=，若点A在第一象限，求m+n的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵F₁，F₂是A₁A₂的三等分点，∴a=3c
又∵|AF₁|+|AF₂|=6，∴a=3
∴c=1，∴b²=8
∴椭圆C的方程为：+=1…（4分）
（2）F₁（-1，0），当直线与x轴重合时，显然不合题意，
当直线不与x轴重合时，设直线AF₁的方程为：x=my-1
代入到椭圆方程并消元整理得：（8m²+9）y²-16my-64=0 …①
△=16²×9（m²+1）＞0恒成立；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂是方程①的两个解，由韦达定理得：y₁+y₂=，y₁y₂=-
在x=my-1中，令x=0得C点坐标为（0，）…（7分）
m====（∵A在第一象限，∴x₁=my₁-1＞0，y₁＞0）
同理：n==…（9分）
∴m+n=+===2+
∵A在第一象限，∴C点在椭圆内部
∴0＜＜2，∴m²＞
∴8m²-1＞0，∴m+n＞2
∴m+n的取值范围是（2，+∞）…（12分）
分析：（1）根据F₁，F₂是A₁A₂的三等分点，可得a=3c，利用|AF₁|+|AF₂|=6，可得a=3，从而可得椭圆C的方程；
（2）当直线与x轴重合时，显然不合题意；当直线不与x轴重合时，设直线AF₁的方程代入到椭圆方程并消元整理利用韦达定理及C点坐标，确定m==，n==，由此可确定m+n的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，确定m，n的表示是关键．