题目内容
10．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，（1）求证：直线BC1∥平面D1AC；
（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．
分析 （1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）求出三棱锥D1-ABC的体积V，再△AD1C为底面的三棱锥B--AD1C的体积，从而求出线BC1到平面D1AC的距离即可．
解答 解：（1）因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1，
故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，
故 直线BC1平行于平面DA1C；
（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）
以△ABC为底面的三棱锥D1-ABC的体积V，可得V=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×1=\frac{1}{3}$
而△AD1C中，AC=D1C=$\sqrt{5}，A{D_1}=\sqrt{2}$，故${S_{△A{D_1}C}}$=$\frac{3}{2}$
所以以△AD1C为底面的三棱锥B--AD1C的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×h=\frac{1}{3}⇒h=\frac{2}{3}$，
即直线BC1到平面D1AC的距离为$\frac{2}{3}$．
点评 本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．
练习册系列答案
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