Question

已知数列{a_n}满足a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

．
（1）数列{a_n}是递增数列还是递减数列？为什么？
（2）证明：a_n≥

1

2

对一切正整数恒成立．

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）作差判断a_n+1-a_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2(n+1)

，符号即可得出单调性，
（2）根据单调性得出a_n≥a₁=

1

2

．即可证明．

解答： 解：（1）∵a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

，
∴a_n+1=

1

(n+1)+1

+

1

(n+1)+2

+

1

(n+1)+3

+…+

1

2(n+1)

=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴a_n+1-a_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2(n+1)

，
又n∈N₊，∴2n+1＜2（n+1），∴a_n+1-a_n＞0，
∴数列{a_n}是递增数列．                                      
（2）由（1）知数列{a_n}为递增数列，
所以数列{a_n}的最小项是a₁=

1

2

，
所以即a_n≥

1

2

 对一切正整数恒成立．

点评：本题考查了数列的性质，运用函数求解问题，难度不大，属于中档题，关键是确定解题方法即可．