Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

3

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求f（β-

π

12

）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+

π

6

），由 x∈[0，

π

2

]，求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，从而求得 f（x）的最大值以及最大值时相应的x的值．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系求出 sin（β-α）=

3

5

，sin（β+α）=

4

5

，再根据 f（β-

π

12

）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]，利用两角和的正弦公式求出结果．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）．
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，∴f（x）的最大值为1，
此时，2x+

π

6

=

π

2

，x=

π

6

，故f（x）取得最大值时相应的x的值为x=

π

6

．
（Ⅱ）∵cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

3

5

，0＜α＜β≤

π

2

，∴sin（β-α）=

3

5

，sin（β+α）=

4

5

．
∴f（β-

π

12

）=sin2β=sin[（β+α）+（β-α）]=sin（β+α）•cos（β-α）+cos（β+α）•sin（β-α）
=

4

5

×

4

5

+（-

3

5

）×

3

5

=

7

25

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换及化简求值，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．