Question

已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设正实数满足．求证：
．

Answer 1

（1）当时，只有单调递增区间；
当时，单调递增区间为，；
单调递减区间为
（2）
（3）由（2）知，在恒成立，构造函数来求证不等式。

试题分析：
1） 
 ，   1分
由的判别式，
①当即时，恒成立，则在单调递增； 2分
②当时，在恒成立，则在单调递增；   3分
③当时，方程的两正根为
则在单调递增，单调递减，单调递增．
综上，当时，只有单调递增区间；
当时，单调递增区间为，；
单调递减区间为．    5分
（2）即时，恒成立．
当时，在单调递增，
∴当时，满足条件．  7分
当时，在单调递减，
则在单调递减，
此时不满足条件，
故实数的取值范围为．                             9分
（3）由（2）知，在恒成立，
令 ，则  ，     10分
∴．                 11分
又，
∴ ，                      13分
∴ ．                                     14分
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用，属于基础题。