Question

6．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系进行求解即可．
（2）根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=（2x²+x+2）e^x，则f′（x）=（2x²+5x+3）e^x=（x+1）（2x+3）e^x…（2分）
令f′（x）=0，$x=-1，-\frac{3}{2}$

x	$（-∞，-\frac{3}{2}）$	$-\frac{3}{2}$	$（-\frac{3}{2}，-1）$	-1	（-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴$f{（x）_{极大值}}=f（-\frac{3}{2}）=5{e^{-\frac{3}{2}}}$，$f{（x）_{极小值}}=f（-1）=3{e^{-1}}$…（7分）
（2）问题转化为f′（x）=[ax²+（2a+1）x+3]e^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立；
又e^x＞0即ax²+（2a+1）x+3≥0在x∈[-2，2]上恒成立；      …（9分）
令g（x）=ax²+（2a+1）x+3，∵a＞0，对称轴$x=-1-\frac{1}{2a}＜0$
①当-1-$\frac{1}{2a}$≤-2，即$0＜a≤\frac{1}{2}$时，g（x）在[-2，2]上单调增，
∴g（x）_min=g（-2）=1＞0，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$                …（12分）
②当-2＜-1-$\frac{1}{2a}$＜0，即$a＞\frac{1}{2}$时，g（x）在[-2，-1-$\frac{1}{2a}$]上单调减，在[-1-$\frac{1}{2a}$，2]上单调增，
∴△=（2a+1）²-12a≤0，解得：$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤a≤1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$           …（14分）
综上，a的取值范围是$（0，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．                                      …（16分）

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键，综合性较强．