Question

若实数x，y满足约束条件

y≥x x+y≤4 2x-y≥k

，已知（x，y）所表示的平面区域为三角形，则实数k的取值范围为

 

，又z=x+2y有最大值8，则实数k=

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合数形结合，即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域，
要使所表示的平面区域为三角形，
则点A必须在直线2x-y=k的下方，
即A的坐标满足不等式2x-y＞k，
由

y=x x+y=4

，解得

x=2 y=2

，
即A（2，2），此时满足2×2-2＞k，
即k＜2．
∵z=x+2y有最大值8，
∴平面区域在直线x+2y=8的下方，
由z=x+2y，得y=-

1

2

x+

z

2

，平移直线y=-

1

2

x+

z

2

，由图象可知当直线经过点B时，
直线y=-

1

2

x+

z

2

的截距最大，此时z最大为x+2y=8，
由

x+2y=8 x+y=4

，得

x=0 y=4

，即B（0，4），同时B也在2x-y=k上，
∴-y=4，解得k=-4，
故答案为：k＜2，-4

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的最大值确定最优解，利用数形结合是解决本题的关键．