Question

锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边长，a=8，B=

π

3

，S△ABC=24

3

，
（1）求：边长c；
（2）求：△ABC中最小内角的正弦值和最大内角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，根据面积的值及a，sinB的值，求出c的长即可；
（2）由a，c及cosB的值，利用余弦定理求出b的值，判断出a，b及c的大小，根据三角形中大边对大角，判断得到A为最小角，C为最大角，由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，由三角形的内角和定理得到C=π-（A+B），代入cosC，利用诱导公式化简后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）S△ABC=

1

2

acsinB=24

3

，a=8，B=

π

3

，
∴c=12；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即b²=112，
∴b=4

7

，
∴c＞b＞a，A为最小角，C为最大角，
∵

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

asinB

b

=

21

7

，cosA=

2 7

7

，
∴cosC=cos[π-（A+B）]
=-cos（A+B）
=sinAsinB-cosAcosB
=

21

7

•

3

2

-

2 7

7

•

1

2

=

7

14

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：三角形的面积公式，正弦、余弦定理，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．