题目内容
（2012•东城区模拟）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2
cos2x，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，f(A)=1+
，b c=
，求△ABC的周长．
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（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，f(A)=1+
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分析：（Ⅰ）利用同角平方关二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式即可求解，结合正弦函数的单调区间可求该函数的单调递减区间
（Ⅱ）由f(A)=1+
可求A，然后由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可求b+c，进而可求周长
（Ⅱ）由f(A)=1+
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解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=(sinx+cosx)2+2
cos2x
=sin2x+cos2x+2sinx•cosx+
(1+cos2x)（2分）
=1+
+(sin2x+
cos2x)=1+
+2sin(2x+
)（4分）
所以函数f（x）的周期为π．（5分）
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z
解得 kπ+
≤x≤kπ+
，
故函数f（x）的单调减区间是[kπ+
，kπ+
](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=1+
=1+
+2sin(2A+
)，
则sin(2A+
)=0，
因为0＜A＜
，所以
＜2A+
＜
，
所以2A+
=π．则A=
．（10分）
又 a=2，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得4=（b+c）2-2bc-2bccosA，
因为bc=
，所以b+c=3，则△ABC的周长等于5．（13分）
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=sin2x+cos2x+2sinx•cosx+
| 3 |
=1+
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| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以函数f（x）的周期为π．（5分）
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
解得 kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
故函数f（x）的单调减区间是[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（Ⅱ）∵f(A)=1+
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| 3 |
| π |
| 3 |
则sin(2A+
| π |
| 3 |
因为0＜A＜
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
所以2A+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又 a=2，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得4=（b+c）2-2bc-2bccosA，
因为bc=
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点评：本题主要考查同角平方关系、二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质及余弦定理等知识的综合应用，试题具有一定的综合性
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