Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过点（1，0）和（0，-3），若f（x+2）=f（2-x）
求（1）f（x）的解析式；
（2）当x取何值时f（x+1）＞0．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的对称轴，以及二次函数经过的点，列出方程组，求出a、b、c的值即可；
（2）根据二次函数的性质，当开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即x＞1；然后利用抛物线与x轴的交点问题求出抛物线与x轴的交点坐标，再找出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．

解答 解：（1）f（x+2）=f（2-x）可知二次函数的对称轴为x=2．
二次函数f（x）=ax²+bx+c经过点（1，0）和（0，-3），
可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{b}{-2a}=2\\ a+b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$
解得a=-1，b=4，c=-3
所以二次函数解析式为：f（x）=-x²+4x-3；
（2）由f（x+1）＞0，可得-（x+1）²+4x+4-3＞0，
即：x²-2x＜0．
解得x∈（0，2）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．